COLÉGIO ESTADUAL HERMÓGENES COELHO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
PROFESSOR: DARLEY RESENDE
TURMA: EJA III
ALUNA:________________________________________________ DATA:________
ATIVIDADES DE NIVELAMENTO
Questão 1
Equação de 1º grau: o que é e como funciona o cálculo
A equação de 1º grau é um conhecimento matemático obrigatório para se resolver certos problemas numéricos. Essa matéria, embora exija um nível de raciocínio lógico avançado, não deve ser necessariamente considerada difícil. Afinal, para dominar a Matemática e suas Tecnologias, basta utilizar os procedimentos corretos.
O importante é saber elaborar cada problema de maneira adequada, tendo o passo a passo bem guardado na mente. Afinal, esse é um tema que surge cada vez mais no Enem, e pode representar um diferencial na avaliação do exame.
Neste post, responderemos às seguintes perguntas:
O que é uma equação de primeiro grau?
Em Matemática, equações ou funções matemáticas podem ser classificadas de acordo com a quantidade, ou o grau das incógnitas que apresentam. Incógnita, vale lembrar, é a grandeza que deve ser determinada durante a resolução do problema. Sempre que há letras e números separados por um sinal de igual, temos uma equação.
A equação 3x + 1 = 10, por exemplo, é uma equação de 1º grau, com uma incógnita apenas. De 1º grau, porque a única incógnita presente (x) tem expoente 1, sendo que x1 = x. Tem uma incógnita, porque se deseja descobrir o valor de uma única variável, representada por x.
O modelo geral para uma equação de 1º grau com uma incógnita, portanto, será sempre ax + b = 0. Os itens a e b são chamados de coeficientes da equação, sendo b conhecido como termo independente também.
Porém, a coisa pode se complicar. Há equações de 1º grau com número superior de incógnitas, nas quais é preciso determinar duas ou mais grandezas. Por exemplo, na equação 4x + 3y = 38, é preciso determinar os valores de x e y.
Mas não se preocupe. Considerando a frequência no Enem, podemos nos concentrar nas equações com uma incógnita. Veremos, a seguir, como é simples resolvê-las de maneira satisfatória.
Em resumo, equação de 1º grau com uma incógnita é uma expressão algébrica que segue o formato ax + b = 0. Elas podem ser muito úteis para traduzir problemas matemáticos em uma linguagem numérica.
Como deve ser feito o cálculo, na prática?
Para calcular uma equação de 1º grau, nesses termos, basta isolar a sua incógnita. Os números são manejados, até que a solução seja obtida. Tudo que for feito de um lado da equação, deve ser feito do outro também. Por exemplo:
10x + 1000 = 5000 (deseja-se descobrir o valor de x)
10x + 1000 – 1000 = 5000 – 1000 (retira-se 1000 de ambos os lados da equação)
10x = 4000
10x/10 = 4000/10 (divide-se os dois lados por 10)
x = 4000/10 (x agora está isolada, estamos próximos do resultado)
x = 400
Viu como é fácil? Esse método vale para toda equação desse tipo. O objetivo será sempre isolar a variável do lado esquerdo, de modo que no lado direito estará o seu valor. Vamos fazer um passo a passo mais genérico, para um exemplo mais difícil:
a equação é: 13x + 900 = 2187;
passo 1: colocar todos os termos que apresentam incógnita para o lado esquerdo. No caso, basta subtrair 900 de cada lado. Teremos 13x + 900 – 900 = 2187 – 900.
passo 2: fazemos as subtrações indicadas. Teremos 13x = 1287.
passo 3: queremos saber o valor de x, não de 13x. Para isso, devemos dividir a equação toda por 13. Teremos 13x/13 = 1287/13.
passo 4: realizamos as operações de divisão indicadas. Para visualizarmos melhor, vamos dividir primeiro só do lado esquerdo. Teremos x = 1287/13.
passo 5: pronto! Agora é só fazer a divisão e encontraremos o valor de x. Teremos x = 99.
O que achou? Experimente à vontade com outros exemplos. Lembre-se apenas da regra de ouro: tudo que for feito de um lado da equação, deve ser feito do outro também, pois, assim, a equivalência é mantida.
De que forma esse tópico é cobrado no Enem?
Geralmente, a construção da Matemática no Enem demanda um passo adicional, que é a tradução de uma questão textual para um modelo de equação mais estrito. Vejamos como isso ocorre, com um exemplo de questão, extraída da prova do Enem de 2009:
Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A) R$ 14,00.
B) R$ 17,00.
C) R$ 22,00.
D) R$ 32,00.
E) R$ 57,00.
Para resolver, é possível montar uma equação de 1º grau que esquematize todos os elementos contidos no texto. Acompanhe:
faltam 510 reais, ou seja, esse é o valor que deve ser recolhido;
50 pessoas já haviam pago e só contribuirão com o adicional, ou seja, 50 × 7;
5 pessoas entraram no grupo e pagarão um valor desconhecido, ou seja, x;
a soma desses novos pagamentos, dos adicionais e dos recém-chegados, deverá ser 510.
Logo, temos:
(50 × 7) + 5x = 510
5x + 350 = 510
5x + 350 – 350 = 510 – 350
5x = 160
x = 150/5
x = 32
Como garantir sucesso nas questões de equação de 1º grau?
Se as equações ainda parecem difíceis, não se preocupe. O conhecimento matemático, como qualquer outro, exige prática e treinamento constantes. Releia as dicas, tente, refazer as equações e aplicar o método a outros exemplos.
Outra boa ideia é realizar, ocasionalmente, um simulado de vestibular. Assim, você pode testar seus estudos e medir o que aprendeu. Se achar necessário, não hesite em buscar ajuda de especialistas, a fim de percorrer com êxito a Trilha do Enem. Nesse site, você pode testar o seu conhecimento, além de montar um plano de estudo personalizado.
Por fim, com o intuito de sedimentar o conteúdo, vamos listar algumas dicas finais para resolver esse tipo de equação. São elas:
entenda bem a teoria;
evite macetes que possam confundir;
leia com atenção o enunciado e traduza seus elementos em uma equação;
siga com cuidado o passo a passo para resolver a equação;
isole a variável cujo valor deseja-se descobrir;
lembre-se de que toda operação realizada de um lado deve ser replicada do outro.
Exercícios Resolvidos
Exercício 1
Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.
Solução
Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de igualdade.
Assim, denominemos a idade de Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que Ana, sua idade será igual a x+8.
Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8
Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se:
3x - x = 8
2x = 8
x = 8/2
x = 4
Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália terá 12 anos, o triplo da idade de Ana (8 anos a mais).
Exercícios Resolvidos
Exercício 1
Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento.
Solução
Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de igualdade.
Assim, denominemos a idade de Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que Ana, sua idade será igual a x+8.
Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8
Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se:
3x - x = 8
2x = 8
x = 8/2
x = 4
Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália terá 12 anos, o triplo da idade de Ana (8 anos a mais).
Exercício 2
Resolva as equações abaixo:
a) x - 3 = 9
x = 9 + 3
x = 12
b) 4x - 9 = 1 - 2x
4x + 2x = 1 + 9
6x = 10
x = 10/6
c) x + 5 = 20 - 4x
x + 4x = 20 - 5
5x = 15
x = 15/5
x = 3
d) 9x - 4x + 10 = 7x - 30
9x - 4x - 7x = - 10 - 30
- 2x = - 40 (-1) multiplica-se todos os termos por -1
2x = 40
x = 40/2
x = 20
